Z-Score Rechner
Bestimmen Sie die standardisierte Position jedes Datenpunkts innerhalb einer Normalverteilung.
Z-Score ↔ Wahrscheinlichkeitskonverter
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📋Wie benutzt man den Z-Score-Rechner?
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Geben Sie den Rohwert (beobachteten Wert) ein
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Geben Sie den Populationsmittelwert (μ) ein
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Geben Sie die Populationsstandardabweichung (σ) ein
Es werden nur drei Eingaben benötigt. Geben Sie den beobachteten Rohwert ein (der Datenpunkt, den Sie analysieren). Dann den Populationsmittelwert – das arithmetische Mittel der gesamten Bezugsverteilung. Abschließend die Populationsstandardabweichung – das Streuungsmaß derselben Population. Sobald alle drei Werte eingetragen sind, klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint sofort als Z-Score und zeigt an, wie viele Standardabweichungen der Rohwert über (positiv) oder unter (negativ) dem Mittelwert liegt.
Nützliche Tipps💡
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Verwenden Sie Populationsparameter, wenn sie bekannt sind; bei Stichprobendaten eher t-Score statt Z-Score
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Werte mit |z| > 3 gelten in normalverteilten Daten meist als ungewöhnlich oder potenzielle Ausreißer
Wie wird der Z-Score berechnet
Der Z-Score – auch Standardwert genannt – wird ermittelt, indem man den Populationsmittelwert vom Rohwert abzieht und die Differenz durch die Populationsstandardabweichung teilt. Der resultierende Wert platziert die ursprüngliche Beobachtung in der Standardnormalverteilung (Mittelwert = 0, Standardabweichung = 1) und erleichtert Wahrscheinlichkeitsberechnungen sowie statistische Vergleiche.
Praktische Anwendungen📊
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Standardisierung von Testergebnissen (SAT, GRE, IQ) für faire Vergleiche verschiedener Versionen
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Erkennung von Ausreißern in Forschungsdaten und Qualitätskontrolle
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Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und Perzentilen bei normalverteilten Variablen
Fragen und Antworten
Was ist ein Z-Score in der Statistik?
Ein Z-Score gibt den Abstand eines Rohwerts vom Populationsmittelwert in Einheiten der Populationsstandardabweichung an. Er transformiert jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung und ermöglicht die Nutzung standardisierter Tabellen und Wahrscheinlichkeitsberechnungen.
Wie berechnet man einen Z-Score manuell?
Ziehen Sie den Populationsmittelwert vom beobachteten Wert ab und teilen Sie das Ergebnis durch die Populationsstandardabweichung. Die universelle Formel lautet z = (x − μ) / σ, wenn Populationsparameter vorliegen. Online-Rechner führen diese Rechnung sofort fehlerfrei durch.
Wie findet man den Z-Score, wenn Mittelwert und Standardabweichung bekannt sind?
Mit Rohwert (x), Populationsmittelwert (μ) und Populationsstandardabweichung (σ) wird direkt in die Z-Score-Formel eingesetzt. Dieser Ansatz ist Standard in der inferentiellen Statistik und beim Hypothesentesten.
Was bedeutet ein negativer Z-Score?
Ein negativer Standardwert zeigt, dass der Datenpunkt unter dem Populationsmittelwert liegt. Ein Z-Score von −1.5 bedeutet z. B., dass der Wert 1.5 Standardabweichungen unter dem Durchschnitt der Verteilung liegt.
Wie wird der Z-Score zur Wahrscheinlichkeitsberechnung genutzt?
Nach Ermittlung des Z-Scores wird in der Standardnormalverteilungstabelle (Z-Tabelle) oder der kumulativen Verteilungsfunktion die Fläche unter der Kurve abgelesen. Diese Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich dem standardisierten Score zu beobachten.
Welche Formel verwendet dieser Z-Score-Rechner?
Der Rechner wendet die weltweit anerkannte Standardformel an: z = (x − μ) / σ, wobei x der Rohwert, μ der Populationsmittelwert und σ die Populationsstandardabweichung ist. Diese im frühen 20. Jahrhundert formalisierte und von Royal Statistical Society sowie American Statistical Association unterstützte Formel ist die Grundlage der Standardisierung in der Normalverteilungsanalyse.
Wie sind Z-Score-Ergebnisse zu interpretieren?
Ein Z-Score von 0 platziert die Beobachtung genau beim Populationsmittelwert. In einer Normalverteilung liegen ca. 68 % der Daten innerhalb ±1, 95 % innerhalb ±2 und 99.7 % innerhalb ±3 Standardabweichungen. Größere Absolutwerte weisen auf zunehmend seltene Beobachtungen in der gegebenen Population hin.