Quadratische Formel Rechner

Nullstellen quadratischer Gleichungen in Sekunden berechnen, mit vollständiger Schritt-für-Schritt-Lösung.

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ax² + bx + c = 0 (Brüche möglich)

Brüche wie 1/4, -3/2, 5/8 sind erlaubt
Brüche und Dezimalzahlen sind beide erlaubt
Beispiel: 1/4x² + 3x - 1/2 = 0

Lösung:

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Berechnungsbeispiele

Berechnungsfall Ergebnis
x² - 4x + 3 = 0 (a=1, b=-4, c=3) Diskriminante 4, x1 = 3, x2 = 1
x² + 2x + 1 = 0 (a=1, b=2, c=1) Diskriminante 0, Doppellösung x = -1
x² + x + 5 = 0 (a=1, b=1, c=5) Diskriminante -19, keine reelle Lösung
2x² - 7x + 3 = 0 (a=2, b=-7, c=3) Diskriminante 25, x1 = 3, x2 = 0,5
Mihail Doncenco
Mihail Doncenco Website-Gründer & Rechner-Experte

Gründer und Entwickler von CalcMate. Erstellt und pflegt alle Rechner dieser Website mit Fokus auf präzise Formeln und klare, praxisnahe Ergebnisse.

Wie löst man quadratische Gleichungen mit diesem Rechner?

Bringen Sie die quadratische Gleichung zuerst in die Normalform \(ax^2 + bx + c = 0\). Geben Sie dann die Koeffizienten a, b und c ein. Wichtig: a darf nicht null sein, sonst liegt eine lineare Gleichung vor.

Nach dem Klick auf „Berechnen" wendet das Tool die Mitternachtsformel an und zeigt die Diskriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\), die Art der Lösungen (zwei reelle, eine Doppellösung oder komplex konjugierte Wurzeln) sowie x₁ und x₂ mit Herleitung. Das hilft bei Hausaufgaben, bei physikalischen Rechnungen wie dem senkrechten Wurf (Ball von einem 20 m hohen Turm mit 10 m/s nach oben: Aufprall nach rund 3,28 s) und bei Optimierungsaufgaben wie Gewinnmaxima.

Wie funktioniert die Berechnung mit der quadratischen Formel?

Die Mitternachtsformel \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) entsteht durch quadratisches Ergänzen der allgemeinen Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\). Das Verfahren beschrieben schon Brahmagupta (628) und al-Chwarizmi (um 820). Entscheidend ist die Diskriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\): Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist sie null, gibt es eine reelle Doppellösung. Ist sie negativ, gibt es nur komplex konjugierte Lösungen. Der Rechner bestimmt zuerst die Diskriminante, wendet dann die Formel an und gibt bei negativer Diskriminante die komplexen Wurzeln in der Form \(u \pm vi\) aus. Zur Kontrolle gelten die Vieta-Formeln: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) und \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\).Quadratische Formel (Mitternachtsformel): x gleich minus b plus minus Wurzel b-Quadrat minus 4ac durch 2a

Nützliche Tipps 💡

  • Prüfen Sie vor der Eingabe, ob a ungleich null ist. Bei a = 0 wird die Gleichung linear (bx + c = 0) und lässt sich durch Division lösen.
  • Achten Sie auf die Vorzeichen von b und c: Ein typischer Fehler ist ein negatives c ohne Minuszeichen. Bei x² + 2x - 3 = 0 ergibt c = -3 die Diskriminante 16, mit c = 3 dagegen -8.
  • Kontrollieren Sie das Ergebnis mit den Vieta-Formeln: Die Summe der Lösungen ist -b/a, ihr Produkt c/a.

📋Schritte zur Berechnung

  1. Gleichung in Normalform bringen: ax² + bx + c = 0 (a darf nicht null sein).

  2. Koeffizienten a, b und c eingeben und die Vorzeichen genau beachten.

  3. Auf „Berechnen" klicken: Diskriminante, Lösungstyp sowie x₁ und x₂ erscheinen sofort mit Herleitung.

Häufige Fehler ⚠️

  1. Das Plusminus-Zeichen übersehen und nur eine der beiden Lösungen berechnen.
  2. Das Vorzeichen von b vergessen: Im Zähler steht -b. Bei b = -3 ist -b = 3, und b² = 9, nicht -9.
  3. Das Vorzeichen von c in der Diskriminante falsch behandeln: Bei a = 1 und c = -3 wird aus -4ac ein +12, die Diskriminante wächst.
  4. Eine Doppellösung (Δ = 0) für keine Lösung halten: Die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt.

Praktische Anwendungen📊

  1. Physik: Aufprallzeit beim senkrechten Wurf berechnen, z. B. h(t) = 20 + 10t - 4,905t² = 0 ergibt t ≈ 3,28 s.

  2. Wirtschaft: Break-even-Punkte und Gewinnmaxima bestimmen, z. B. G(x) = -x² + 60x - 500 hat Nullstellen bei x = 10 und x = 50 und sein Maximum bei x = 30 (Gewinn 400).

  3. Geometrie und Technik: Schnittpunkte von Parabeln und Geraden ermitteln.

Fragen und Antworten

Kann der Rechner Dezimalzahlen und Brüche verarbeiten?

Ja, Dezimalkoeffizienten wie a = 1,5 oder b = -2,75 sind erlaubt. Für \(1{,}5x^2 - 2{,}75x + 1 = 0\) ist \(\Delta = 7{,}5625 - 6 = 1{,}5625\), also \(\sqrt{\Delta} = 1{,}25\) und \(x_1 = \frac{2{,}75 + 1{,}25}{3} \approx 1{,}33\) sowie \(x_2 = \frac{2{,}75 - 1{,}25}{3} = 0{,}5\). Brüche geben Sie als Dezimalzahl ein. Bei 1/3 entsteht dabei eine Rundung, multiplizieren Sie die Gleichung deshalb besser vorher mit dem Nenner, um ganze Koeffizienten zu erhalten.

Was bedeutet eine negative Diskriminante?

Bei \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\) hat die Gleichung keine reellen Lösungen, die zugehörige Parabel schneidet die x-Achse nicht. Für \(x^2 + x + 5 = 0\) ist \(\Delta = 1 - 20 = -19\). Es gibt dennoch zwei komplex konjugierte Lösungen: \(x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\), hier \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt{19}}{2}\). In der Schulmathematik wird dann meist "keine reelle Lösung" angegeben.

Was ist der Unterschied zwischen Mitternachtsformel und pq-Formel?

Die Mitternachtsformel \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) gilt für jede quadratische Gleichung, die pq-Formel nur für die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) mit a = 1. Die pq-Formel lautet \(x = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}\) und folgt aus der Mitternachtsformel mit \(p = \frac{b}{a}\) und \(q = \frac{c}{a}\). Bei a ≠ 1 teilen Sie die Gleichung zuerst durch a. Der Rechner nutzt die allgemeine Mitternachtsformel, weil sie immer funktioniert.

Was ist ein quadratischer Formel-Rechner?

Ein quadratischer Formel-Rechner löst jede Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\). Sie geben a, b und c ein und erhalten die Diskriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\), die Art der Wurzeln (zwei reelle Lösungen, Doppellösung oder komplex konjugiertes Paar) sowie x₁ und x₂ mit Herleitung. Für \(x^2 - 5x + 6 = 0\) ergibt das \(\Delta = 1\), \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 2\). Er eignet sich zur Kontrolle manueller Rechnungen oder wenn sich weder Faktorisieren noch quadratisches Ergänzen anbietet.

Welche Formel verwendet der Quadratische Formel-Rechner?

Der Rechner verwendet die quadratische Formel (Mitternachtsformel): \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Sie gilt für jede quadratische Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\) und folgt aus dem quadratischen Ergänzen. Der Rechner berechnet zuerst die Diskriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\), bestimmt daran den Lösungstyp und gibt x₁ und x₂ mit allen Zwischenschritten aus. Beispiel: \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) ergibt \(\Delta = 49 - 24 = 25\), also \(x = \frac{7 \pm 5}{4}\), das sind 3 und 0,5.

Wie löst man quadratische Gleichungen mit der Mitternachtsformel?

Sie lösen sie in vier Schritten: Normalform herstellen, a, b und c ablesen, die Diskriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\) berechnen und \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) auswerten. Für \(x^2 - 5x + 6 = 0\) ist \(\Delta = 25 - 24 = 1\), also \(x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3\) und \(x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2\). Kontrolle mit Vieta: \(3 + 2 = 5 = -b/a\) und \(3 \cdot 2 = 6 = c/a\).
Hinweis: Dieser Rechner dient dazu, hilfreiche Schätzungen zu Informationszwecken bereitzustellen. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, können die Ergebnisse je nach örtlichen Gesetzen und individuellen Umständen variieren. Wir empfehlen, bei wichtigen Entscheidungen einen professionellen Berater zu Rate zu ziehen.