Calculadora de la Fórmula Cuadrática

Resuelve cualquier ecuación de segundo grado y obtén sus raíces, el discriminante y el desarrollo paso a paso.

ax² + bx + c = 0 (fracciones admitidas)
Puedes ingresar fracciones como 1/4, -3/2, 5/8
Se aceptan fracciones y decimales
Ejemplo: 1/4x² + 3x - 1/2 = 0

Solución:

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Ejemplos de cálculo

Caso de cálculo Resultado
x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6) Discriminante 1; x₁ = 3 y x₂ = 2
x² + 2x + 1 = 0 (a=1, b=2, c=1) Discriminante 0; x = -1 (raíz doble)
x² + x + 1 = 0 (a=1, b=1, c=1) Discriminante -3; x = -0,5 ± 0,866i
2x² - 5x + 3 = 0 (a=2, b=-5, c=3) Discriminante 1; x₁ = 1,5 y x₂ = 1
Mihail Doncenco
Mihail Doncenco Creador del sitio y experto en calculadoras

Fundador y desarrollador de CalcMate. Crea y mantiene todas las calculadoras del sitio, con especial atención a la precisión de las fórmulas y a resultados claros y prácticos.

¿Cómo usar la calculadora de fórmula cuadrática?

Escribe la ecuación en su forma estándar, \(ax^2 + bx + c = 0\), pasando todos los términos al mismo lado. Después introduce los coeficientes: \(a\) es el del término cuadrático y no puede ser cero, porque entonces la ecuación sería de primer grado; \(b\) es el del término lineal y \(c\), el término independiente.

Los coeficientes pueden ser enteros, decimales o negativos. En \(x^2 - 5x + 6 = 0\), los valores son \(a=1\), \(b=-5\) y \(c=6\). En \(-3x^2 - 12 = 0\), son \(a=-3\), \(b=0\) y \(c=-12\). El error más común es olvidar el signo: si el término es \(-5x\), \(b\) vale -5, no 5.

Pulsa "Calcular" y verás el discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\), las dos raíces con el desarrollo completo y, si el discriminante es negativo, las raíces complejas conjugadas en la forma \(p \pm qi\).

Cómo funciona el cálculo de la fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\) y se obtiene completando el cuadrado: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] El discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\), el término bajo la raíz, indica el tipo de soluciones antes de calcularlas.

Si \(\Delta > 0\), hay dos raíces reales distintas y la parábola \(y = ax^2 + bx + c\) corta el eje \(x\) en dos puntos. Si \(\Delta = 0\), hay una raíz doble y la parábola toca el eje \(x\) solo en su vértice. Si \(\Delta < 0\), no hay raíces reales: la parábola no toca el eje \(x\) y las soluciones son dos números complejos conjugados, \(p + qi\) y \(p - qi\), con \(i^2 = -1\). Para comprobar el resultado, usa las relaciones de Vieta: la suma de las raíces es \(-b/a\) y su producto, \(c/a\).

Las ecuaciones de segundo grado se resolvían ya en Babilonia hacia el 2000 a. C. Brahmagupta dio en el año 628 una regla explícita equivalente a la fórmula, y Al-Juarismi, hacia el 820, sistematizó los casos con el método geométrico de completar el cuadrado, aunque solo con coeficientes positivos. La notación algebraica actual se fijó en Europa entre los siglos XVI y XVII, con Viète y Descartes. En el cálculo con ordenador hay un detalle importante: si \(b^2\) es mucho mayor que \(4ac\), restar dos números casi iguales hace perder precisión. Por ejemplo, en \(x^2 + 10^8 x + 1 = 0\), la fórmula directa da para la raíz pequeña unos \(-7{,}45 \times 10^{-9}\) en lugar de \(-1{,}00 \times 10^{-8}\). La solución es calcular primero la raíz grande y obtener la otra como \(c/(a \cdot x_1)\).

Fórmula cuadrática con discriminante positivo, cero y negativo: tipos de raíces y su representación gráfica

Guía de Uso y Consejos 💡

  • Pasa todos los términos al mismo lado antes de identificar los coeficientes: 2x² = 5x - 3 se convierte en 2x² - 5x + 3 = 0.
  • Comprueba las raíces sustituyéndolas en la ecuación o con las relaciones de Vieta: deben sumar menos b entre a y su producto debe ser c entre a.

📋Pasos para Calcular

  1. Escribe la ecuación en forma estándar ax²+bx+c=0 e identifica a, b y c.

  2. Introduce los valores de a, b y c, con su signo si son negativos.

  3. Pulsa "Calcular" para ver el discriminante, las raíces y el desarrollo paso a paso.

Errores a evitar ⚠️

  1. Olvidar el signo del coeficiente: si el término es menos 5x, b vale menos 5, no 5.
  2. Quedarse con una sola raíz y olvidar que el signo más-menos da dos soluciones.
  3. Dividir entre 2a solo la raíz cuadrada en lugar de todo el numerador.
  4. Pensar que un discriminante negativo es un error: indica que las soluciones son complejas, no que no existan.

Aplicaciones prácticas📊

  1. Física: calcula cuándo cae al suelo un objeto lanzado hacia arriba; a 20 m/s desde el suelo, tarda unos 4,08 segundos en volver.

  2. Economía: encuentra el precio de equilibrio cuando la oferta o la demanda siguen una función de segundo grado.

  3. Geometría: calcula las medidas de un rectángulo a partir de su área y su perímetro, que llevan a una ecuación de segundo grado.

  4. Estudios: comprueba ejercicios de ecuaciones de segundo grado con el desarrollo completo.

Preguntas Frecuentes (FAQ)

¿Qué es la fórmula cuadrática y de dónde viene?

La fórmula cuadrática, \(x = (-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}) / (2a)\), da las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado \(ax^2 + bx + c = 0\). Se deduce completando el cuadrado: se divide entre \(a\), se suma y resta \((b/2a)^2\) para formar un cuadrado perfecto y se despeja \(x\). Brahmagupta dio una regla equivalente en el año 628, y Al-Juarismi sistematizó el método de completar el cuadrado hacia el 820.

¿Qué es el discriminante y qué indica?

El discriminante es \(\Delta = b^2 - 4ac\), el valor bajo la raíz de la fórmula cuadrática, e indica cuántas soluciones reales tiene la ecuación. Si \(\Delta > 0\), hay dos raíces reales distintas; si \(\Delta = 0\), una raíz doble, y la parábola toca el eje \(x\) en su vértice; si \(\Delta < 0\), dos raíces complejas conjugadas, y la parábola no corta el eje \(x\). En \(x^2 - 5x + 6 = 0\), \(\Delta = 25 - 24 = 1\): dos raíces reales.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática paso a paso?

Para resolver una ecuación de segundo grado, sigue cinco pasos. Primero, escríbela en forma \(ax^2 + bx + c = 0\). Segundo, identifica \(a\), \(b\) y \(c\) con sus signos. Tercero, calcula \(\Delta = b^2 - 4ac\). Cuarto, si \(\Delta \geq 0\), aplica la fórmula con el signo más y con el signo menos; si \(\Delta < 0\), las raíces son \(-b/(2a) \pm (\sqrt{|\Delta|}/(2a))\,i\). Quinto, comprueba que la suma de las raíces es \(-b/a\) y su producto, \(c/a\).

¿Qué son las raíces complejas de una ecuación cuadrática?

Las raíces complejas son las soluciones de una ecuación de segundo grado con discriminante negativo: dos números de la forma \(p + qi\) y \(p - qi\), con \(p = -b/(2a)\) y \(q = \sqrt{|\Delta|}/(2a)\). Si los coeficientes son reales, siempre aparecen en parejas conjugadas. Por ejemplo, \(x^2 + x + 1 = 0\) tiene las raíces \(-0{,}5 \pm 0{,}866\,i\). Se usan en circuitos de corriente alterna, sistemas de control y vibraciones, donde indican oscilaciones.

¿Cuándo tiene una ecuación cuadrática una sola solución?

Una ecuación de segundo grado tiene una sola solución, llamada raíz doble, cuando el discriminante es cero: \(b^2 - 4ac = 0\). Esa solución es \(x = -b/(2a)\) y coincide con el vértice de la parábola, que toca el eje \(x\) en un único punto. Por ejemplo, \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0\) tiene la raíz doble \(x = -1\).

¿Para qué se usa la ecuación cuadrática en la vida real?

Las ecuaciones de segundo grado aparecen siempre que una magnitud depende del cuadrado de otra. En física, la altura de un objeto lanzado hacia arriba es \(h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0\); con \(v_0 = 20\) m/s y \(h_0 = 0\), al resolver \(h = 0\) se obtiene que vuelve al suelo a los 4,08 s. También se usan en economía para hallar precios de equilibrio y beneficios máximos, y en geometría e ingeniería para calcular dimensiones a partir de áreas.

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Nota: Esta calculadora está diseñada para ofrecer estimaciones útiles con fines informativos. Aunque nos esforzamos por la precisión, los resultados pueden variar según las leyes locales y las circunstancias individuales. Recomendamos consultar con un asesor profesional para decisiones importantes.