Wurzelrechner

Quadratwurzel, Kubikwurzel und n-te Wurzel online berechnen.

Last updated:
Quadratwurzel √
Kubikwurzel ∛
Allgemeine Wurzel
4 √

War dieser Rechner hilfreich?

★ ★ ★ ★ ★
Diesen Rechner einbetten

Berechnungsbeispiele

Berechnungsfall Ergebnis
Quadratwurzel aus 169 13 (da 13² = 169)
Kubikwurzel (3. Wurzel) aus 27 3 (da 3³ = 27)
5. Wurzel aus 32 2 (da 2⁵ = 32)
Quadratwurzel aus 50 ca. 7,0711 (zwischen 7 und 8)
Mihail Doncenco
Mihail Doncenco Website-Gründer & Rechner-Experte

Gründer und Entwickler von CalcMate. Erstellt und pflegt alle Rechner dieser Website mit Fokus auf präzise Formeln und klare, praxisnahe Ergebnisse.

Wie verwendet man den Wurzelrechner?

Wählen Sie den Wurzeltyp (Quadratwurzel, Kubikwurzel oder n-te Wurzel) und geben Sie den Radikanden ein, also die Zahl, aus der Sie die Wurzel ziehen. Für höhere Wurzeln geben Sie zusätzlich den Wurzelexponenten n an. Der Rechner liefert das Ergebnis sofort als Dezimalzahl. Beispiel: Die vierte Wurzel aus 81 ist \(\sqrt[4]{81} = 3\), da \(3^4 = 81\).

Bei negativen Radikanden kommt es auf n an: Ungerade Wurzeln sind auch für negative Zahlen im Reellen definiert, z. B. \(\sqrt[3]{-27} = -3\). Gerade Wurzeln negativer Zahlen haben im Reellen kein Ergebnis, sie führen auf komplexe Zahlen (z. B. \(\sqrt{-1} = i\)). Schätzen Sie zur Kontrolle grob mit Quadratzahlen: \(\sqrt{50}\) liegt zwischen \(\sqrt{49} = 7\) und \(\sqrt{64} = 8\), genauer bei 7,07.

Wie berechnet man Wurzeln? Formeln und Methoden erklärt

Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben: \[\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\] Für die häufigsten Fälle gilt: \[\sqrt{x} = x^{1/2} \qquad \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \qquad \sqrt[n]{x} = x^{1/n}\] Nicht ganzzahlige Wurzeln berechnet man numerisch, z. B. mit dem Newton-Verfahren. Ausgehend von einem Startwert \(y_0\) verfeinert man schrittweise: \[y_{k+1} = \frac{1}{n}\left((n-1) \cdot y_k + \frac{x}{y_k^{n-1}}\right)\]

Drei Praxisbeispiele: (1) \(\sqrt{169} = 13\), da \(13^2 = 169\). (2) \(\sqrt[3]{27} = 3\), da \(3^3 = 27\). (3) \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\) ist irrational. Das Newton-Verfahren zeigt, wie schnell es geht: Mit \(n = 2\), \(x = 2\) und \(y_0 = 1\) erhalten Sie \(y_1 = 1{,}5\), \(y_2 \approx 1{,}41667\), \(y_3 \approx 1{,}414216\). Nach drei Schritten liegt der Fehler unter 0,000003. Aus der Geometrie: Die Diagonale eines 3 m × 4 m großen Raums ist \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) m lang.

Wurzeln einer quadratischen Gleichung: Nullstellen im Koordinatensystem

Nützliche Tipps 💡

  • Negative Zahlen: Die Kubikwurzel aus -27 ist -3, die Quadratwurzel aus -9 ist im Reellen nicht definiert. Wählen Sie bei negativem Radikanden einen ungeraden Wurzelexponenten.
  • Bruchexponenten sind eine Alternative: 16 hoch 0,25 ist die vierte Wurzel aus 16, also 2. Bei negativer Basis liefern viele Taschenrechner mit Bruchexponent einen Fehler, die Wurzelfunktion dagegen nicht.

📋Schritte zur Berechnung

  1. Wurzeltyp wählen: Quadratwurzel (n = 2), Kubikwurzel (n = 3) oder n-te Wurzel mit beliebigem n.

  2. Radikanden (Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird) eingeben.

  3. Auf "Berechnen" klicken: Das Ergebnis erscheint sofort als Dezimalzahl.

Häufige Fehler ⚠️

  1. Annehmen, Wurzeln aus negativen Zahlen seien nie definiert: Ungerade Wurzeln sind im Reellen definiert, z. B. die Kubikwurzel aus -8 ist -2.
  2. Wurzel mit Potenz verwechseln: Die vierte Wurzel aus 16 ist 2, nicht 16⁴ = 65.536. Der Wurzelexponent steht im Nenner des Bruchexponenten.
  3. x hoch 1/n mit x hoch n verwechseln: 8 hoch 1/3 ist 2 (Kubikwurzel), aber 8³ ist 512 (dritte Potenz).
  4. Gerade Wurzeln negativer Zahlen erwarten: Die Quadratwurzel aus -4 ist im Reellen nicht definiert, im Komplexen ergibt sie 2i.

Wofür nutzt man einen Wurzelrechner?📊

  1. Geometrie: Seitenlänge eines Quadrats aus der Fläche berechnen, z. B. Fläche 144 m² ergibt Seite 12 m (Quadratwurzel aus 144).

  2. Volumenberechnung: Kantenlänge eines Würfels aus dem Volumen bestimmen, z. B. 125 m³ ergibt Kante 5 m (Kubikwurzel aus 125).

  3. Technik und Statistik: Aus dem Scheitelwert einer Wechselspannung den Effektivwert ableiten (325 V geteilt durch √2 ergibt 230 V) oder die Standardabweichung als Wurzel der Varianz berechnen.

Fragen und Antworten

Kann man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen?

Das hängt vom Wurzelexponenten ab. Ungerade Wurzeln (n = 3, 5, 7, ...) negativer Zahlen sind im Reellen definiert: \(\sqrt[3]{-27} = -3\). Gerade Wurzeln (n = 2, 4, 6, ...) negativer Zahlen gibt es im Reellen nicht, sie führen auf komplexe Zahlen: \(\sqrt{-1} = i\) (imaginäre Einheit) und \(\sqrt{-4} = 2i\).

Warum ist √2 eine irrationale Zahl?

\(\sqrt{2}\) ist irrational, weil es keinen gekürzten Bruch \(\frac{p}{q}\) mit \(\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2\) gibt. Der klassische Beweis: Aus \(p^2 = 2q^2\) folgt, dass \(p\) gerade ist, dann ist auch \(q\) gerade, was der Kürzung widerspricht. Die Entdeckung wird der pythagoreischen Schule (5. Jahrhundert v. Chr.) zugeschrieben, ein Beweis steht in Euklids Elementen. \(\sqrt{2} = 1{,}41421356...\) hat unendlich viele Dezimalstellen ohne Periode. Geometrisch ist es die Diagonale eines Einheitsquadrats, denn \(1^2 + 1^2 = 2\).

Was ist ein Wurzelrechner?

Ein Wurzelrechner berechnet \(\sqrt[n]{x}\), also die Zahl \(y\) mit \(y^n = x\). Mit 144 und n = 2 erhalten Sie sofort 12. Das Tool liefert ganzzahlige Wurzeln wie diese und irrationale Wurzeln wie \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421\) als Dezimalzahl. Digitale Rechner arbeiten dabei meist mit Gleitkommazahlen (IEEE 754, double: etwa 15 bis 16 gültige Stellen).

Was ist eine n-te Wurzel?

Die n-te Wurzel \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\) ist die Wurzel beliebiger Ordnung: n = 2 ist die Quadratwurzel, n = 3 die Kubikwurzel, n = 4 die vierte Wurzel. Beispiel: \(\sqrt[5]{32} = 32^{1/5} = 2\), da \(2^5 = 32\). Je größer n, desto näher liegt das Ergebnis bei 1 (für \(x > 1\)): \(\sqrt[10]{1000} \approx 1{,}995\).

Welche Formeln werden im Wurzelrechner verwendet?

Der Rechner nutzt die Definition über Bruchexponenten: Quadratwurzel \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), Kubikwurzel \(\sqrt[3]{x} = x^{1/3}\) und n-te Wurzel \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\). Irrationale Wurzeln lassen sich iterativ mit dem Newton-Verfahren berechnen: \(y_{k+1} = \frac{1}{n}\left((n-1) \cdot y_k + \frac{x}{y_k^{n-1}}\right)\). Das Verfahren konvergiert quadratisch, die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich etwa mit jedem Schritt.

Wie berechnet man die Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel \(\sqrt{x}\) ist die nicht negative Zahl \(y\) mit \(y^2 = x\). Beispiel: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}828\). Für Quadratzahlen wie 16, 25 oder 144 ist das Ergebnis ganzzahlig, sonst irrational. Per Hand nähern Sie sich mit dem Newton-Verfahren: \(y_{k+1} = \frac{1}{2}\left(y_k + \frac{x}{y_k}\right)\). Für \(x = 2\) und \(y_0 = 1\) ergibt das 1,5, dann 1,41667, dann 1,414216.
Hinweis: Dieser Rechner dient dazu, hilfreiche Schätzungen zu Informationszwecken bereitzustellen. Obwohl wir uns um Genauigkeit bemühen, können die Ergebnisse je nach örtlichen Gesetzen und individuellen Umständen variieren. Wir empfehlen, bei wichtigen Entscheidungen einen professionellen Berater zu Rate zu ziehen.