Logarithmus Rechner

Wie verwendet man den Logarithmus-Rechner?

Geben Sie den Numerus (die positive Zahl) und die gewünschte Basis ein. Basis 10 liefert den dekadischen Logarithmus (lg), Basis e (≈ 2,71828) den natürlichen Logarithmus (ln) und Basis 2 den binären Logarithmus (lb oder log₂). Das Ergebnis ist der Exponent, mit dem die Basis potenziert werden muss, um den Numerus zu erhalten: \(\log_b(a) = c\) bedeutet \(b^c = a\). Logarithmen kommen in der Schulanalysis (Oberstufe, Abitur), in der Informatik (Algorithmen, Datenkompression) und in der Naturwissenschaft (pH-Wert, Dezibel, Halbwertszeit) vor.

Wie berechnet man Logarithmen? Formeln und Basiswechsel erklärt

Jeder Logarithmus lässt sich auf den natürlichen Logarithmus zurückführen (Basiswechselformel): \[\log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}\] Die drei häufigsten Varianten sind: \[\lg(a) = \log_{10}(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(10)} \qquad \ln(a) = \log_e(a) \qquad \text{lb}(a) = \log_2(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(2)}\] Wichtige Rechenregeln: Produktregel \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\), Quotientenregel \(\log_b(x/y) = \log_b(x) - \log_b(y)\) und Potenzregel \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\).

Drei Praxisbeispiele: (1) \(\lg(1000) = \log_{10}(10^3) = 3\). (2) \(\ln(e^2) = 2\), da \(e^2 / e^2 = 1\). (3) \(\text{lb}(256) = \log_2(2^8) = 8\), relevant in der Informatik: 256 Zustände lassen sich mit genau 8 Bit codieren.

Nützliche Tipps 💡

• Logarithmen sind nur für positive Zahlen (Numerus > 0) und Basen > 0, ungleich 1, definiert. Die Eingabe von 0 oder negativen Zahlen ergibt keinen reellen Wert.
• Basiswechsel schnell im Kopf: lg(x) = ln(x) / 2,303 und lb(x) = ln(x) / 0,693, da ln(10) ≈ 2,303 und ln(2) ≈ 0,693.